Презентация "обозначение натуральных чисел". Натуральный ряд чисел Действия над натуральными числами

Натуральные числа – числа, которые применяют для счета предметов. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую записьчисел называют десятичной.

Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Самое маленькое натуральное число – единица (1). В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нем нет.

Значение цифры зависит от ее места в записи числа. Например, цифра 4 означает: 4 единицы,если она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц); 4 десятка, если она стоит на предпоследнем месте (в разряде десятков); 4 сотни, если она стоит на третьем месте от конца (в разряде сотен).

Цифра0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа.Она служит и для обозначения числа «нуль ». Это число означает «ни одного». Счет 0: 3 футбольного матча говорит о том, что первая команда не забила ни одного гола в ворота противника.

Нуль не относят к натуральным числам. И действительно счет предметов никогда не начинают с нуля.

Если запись натурального числа состоит из одного знака – одной цифры, то его называют однозначным. Т.е. однозначное натуральное число – натуральное число, запись которого состоит из одного знака – одной цифры. Например, числа 1, 6, 8 – однозначные.

Двузначное натуральное число – натуральное число, запись которого состоит из двух знаков – двух цифр.

Например, числа 12, 47, 24, 99 – двузначные.

Так же по числу знаков в данном числе дают названия и другим числам:

числа 326, 532, 893 – трехзначные;

числа 1126, 4268, 9999 – четырехзначные и т.д.

Двузначные, трехзначные, четырехзначные, пятизначные и т.д. числа называют многозначными числами.

Для чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Эти группы называют классами.

Миллион – это тысяча тысяч (1000 тыс.), его записывают 1 млн или 1 000 000.

Миллиард – это 1000 миллионов. Его записывают 1 млрд или 1 000 000 000.

Три первые цифры справа составляют класс единиц, три следующие – класс тысяч, далее идут классы миллионов, миллиардов и т.д. (рис. 1).

Рис. 1. Класс миллионов, класс тысяч и класс единиц (слева направо)

Число15389000286 записано в разрядной сетке (рис. 2).

Рис. 2. Разрядная сетка: число 15 миллиардов 389 миллионов 286

Это число имеет 286 единиц в классе единиц, нуль единиц в классе тысяч, 389 единиц в классе миллионов и15 единиц в классе миллиардов.

Числа, предназначенные для подсчета предметов и отвечающие на вопрос «сколько?» («сколько

мячей?», «сколько яблок?», «сколько солдати­ков?»), называются натуральными.

Если записать их по порядку, от меньшего числа к большему, то получится натуральный ряд чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …

Натуральный ряд чисел начинается с числа 1.

Каждое следующее натуральное число на 1 боль­ше предыдущего.

Натуральный ряд чисел бесконечен.

Числа бывают четные и нечетные. Четные числа делятся на два, а нечетные числа не делятся на два.

Ряд нечетных чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …

Ряд четных чисел:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …

В натуральном ряду нечетные и четные числа че­редуются:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …

Как сравнивать натуральные числа

При сравнении двух натуральных чисел больше то, которое стоит в натуральном ряду правее:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Так, семь больше трех, а пять больше единицы.

В математике для записи слова «меньше» исполь­зуют знак «<», а для записи слова «больше» - знак « > ».

Острый уголок значков «больше» и «меньше» всегда направлен в сторону меньшего из двух чисел.

Запись 7 > 3 читается как «семь больше трех».

Запись 3 < 7 читается как «три меньше семи».

Запись 5 > 1 читается как «пять больше одного».

Запись 1 < 5 читается как «один меньше пяти».

Слово «равно» в математике заменяют знаком «=»:

Когда числа большие, трудно сразу сказать, ка­кое из них стоит правее в натуральном ряду.

При сравнении двух натуральных чисел с разным количеством цифр больше из них то, в котором цифр больше.

Например, 233 000 < 1 000 000, потому что в пер­вом числе шесть цифр, а во втором - семь.

Многозначные натуральные числа с одина­ковым количеством цифр сравниваются поразрядно, начиная со старшего разряда.

Сначала сравниваются единицы самого старшего разряда, потом - следующего за ним, следующего и так далее. Например, сравниваем числа 5401 и 5430:

5401 = 5 тысяч 4 сотни 0 десятков 1 единица;

5430 = 5 тысяч 4 сотни 3 десятка 0 единиц.

Сравниваем единицы тысяч . В разряде единиц тысяч числа 5401 - 5 единиц, в разряде единиц тысяч числа 5430 - 5 единиц. Сравнив единицы тысяч, еще нельзя сказать, какое из чисел больше.

Сравниваем сотни . В разряде сотен числа 5401 - 4 единицы, в разряде сотен числа 5430 - тоже 4 единицы. Надо продолжать сравнение.

Сравниваем десятки . В разряде десятков числа 5401 - 0 единиц, в разряде десятков числа 5430 - 3 единицы.

Сравнив, получим 0 < 3, поэтому 5401 < 5430.

Числа можно располагать в порядке убывания и в порядке возрастания.

Если в записи нескольких натуральных чисел каждое следующее число меньше предыдущего, то говорят, что числа записаны в порядке убывания.

Запишем числа 5, 22, 13, 800 в порядке убы­вания.

Отыщем большее число. Число 5 - однозначное, 13 и 22 - двузначные, 800 - трехзначное число и, следовательно, самое большое. Пишем на первом ме­сте 800.

Из двузначных чисел 13 и 22 большее 22. Пишем за числом 800 число 22, а затем 13.

Наименьшее число - однозначное число 5. Пи­шем его последним.

800, 22, 13, 5 - запись данных чисел в порядке их убывания.

Если в записи нескольких натуральных чи­сел каждое следующее число больше предыду­щего, то говорят, что числа записаны в поряд­ке возрастания.

А как записать числа 15, 2, 31, 278, 298 в поряд­ке возрастания?

Среди чисел 15, 2, 31, 278, 298 отыщем меньшее.

Это однозначное число 2. Запишем его на первом месте.

Из двузначных чисел 15 и 31 выбираем мень­шее - 15, пишем его на втором месте, а за ним - 31.

Из трехзначных чисел 278 - меньшее, пишем его за числом 31, а последним пишем число 298.

2, 15, 21, 278, 298 - запись данных чисел в по­рядке возрастания

Место нуля

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

• подсчёте (нумерации) предметов (первый , второй , третий , четвёртый , пятый …);
• натуральные числа - числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов , 1 предмет , 2 предмета , 3 предмета , 4 предмета , 5 предметов …).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором - с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход . Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки , где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств . Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда , включающего ноль .

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом . Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения :

В русских источниках этот стандарт пока не соблюдается - в них символ N {\displaystyle \mathbb {N} } обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается N 0 , Z + , Z ⩾ 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{+},\mathbb {Z} _{\geqslant 0}} и т. д.

Аксиомы, позволяющие определить множество натуральных чисел

Аксиомы Пеано для натуральных чисел

Множество N {\displaystyle \mathbb {N} } будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1 (единица), функция S {\displaystyle S} c областью определения N {\displaystyle \mathbb {N} } , называемая функцией следования ( S: N {\displaystyle S\colon \mathbb {N} } ), и выполнены следующие условия:

1. элемент единица принадлежит этому множеству ( 1 ∈ N {\displaystyle 1\in \mathbb {N} } ), то есть является натуральным числом;
2. число, следующее за натуральным, также является натуральным (если , то S (x) ∈ N {\displaystyle S(x)\in \mathbb {N} } или, в более короткой записи, S: N → N {\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} } );
3. единица не следует ни за каким натуральным числом ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) {\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)} );
4. если натуральное число a {\displaystyle a} непосредственно следует как за натуральным числом b {\displaystyle b} , так и за натуральным числом c {\displaystyle c} , то b {\displaystyle b} и c {\displaystyle c} - это одно и то же число (если S (b) = a {\displaystyle S(b)=a} и S (c) = a {\displaystyle S(c)=a} , то b = c {\displaystyle b=c} );
5. (аксиома индукции) если какое-либо предложение (высказывание) P {\displaystyle P} доказано для натурального числа n = 1 {\displaystyle n=1} (база индукции ) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа n {\displaystyle n} , вытекает, что оно верно для следующего за n {\displaystyle n} натурального числа (индукционное предположение ), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть P (n) {\displaystyle P(n)} - некоторый одноместный (унарный) предикат , параметром которого является натуральное число n {\displaystyle n} . Тогда, если P (1) {\displaystyle P(1)} и ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) {\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))} , то ∀ n P (n) {\displaystyle \forall n\;P(n)} ).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии .

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см. , а также краткое доказательство ), что если (N , 1 , S) {\displaystyle (\mathbb {N} ,1,S)} и (N ~ , 1 ~ , S ~) {\displaystyle ({\tilde {\mathbb {N} }},{\tilde {1}},{\tilde {S}})} - две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны , то есть существует обратимое отображение (биекция) f: N → N ~ {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}} такая, что f (1) = 1 ~ {\displaystyle f(1)={\tilde {1}}} и f (S (x)) = S ~ (f (x)) {\displaystyle f(S(x))={\tilde {S}}(f(x))} для всех x ∈ N {\displaystyle x\in \mathbb {N} } .

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве N {\displaystyle \mathbb {N} } какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств ноль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом N {\displaystyle \mathbb {N} } образует моноид . Как уже упоминалось , в русской литературе традиционно ноль исключён из числа натуральных чисел.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге - Рассела)

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Числа, заданные таким образом, называются ординальными .

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

Величина множества натуральных чисел

Величина бесконечного множества характеризуется понятием «мощность множества », которое является обобщением числа элементов конечного множества на бесконечные множества. По величине (то есть мощности) множество натуральных чисел больше любого конечного множества, но меньше любого интервала, например, интервала (0 , 1) {\displaystyle (0,1)} . Множество натуральных чисел по мощности такое же, как множество рациональных чисел. Множество такой же мощности, как множество натуральных чисел, называется счётным множеством . Так, множество членов любой последовательности счётно. В то же время, существует последовательность, в которую каждое натуральное число входит бесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можно представить как счётное объединение непересекающихся счётных множеств (например , N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) {\displaystyle \mathbb {N} =\bigcup \limits _{k=0}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }(2n+1)2^{k}\right)} ).

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства

• Коммутативность сложения:

a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} .

• Коммутативность умножения:

a ⋅ b = b ⋅ a {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a} .

• Ассоциативность сложения:

(a + b) + c = a + (b + c) {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)} .

• Ассоциативность умножения:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) {\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)} .

• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

{ a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a {\displaystyle {\begin{cases}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end{cases}}} .

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0 . Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1 . С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел Z {\displaystyle \mathbb {Z} } и рациональных положительных чисел Q + ∗ {\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{*}} соответственно.

История натуральных чисел началась ещё в первобытные времена. Издревле люди считали предметы. Например, в торговле нужен был счет товара или в строительстве счет материала. Да даже в быту тоже приходилось считать вещи, продукты, скот. Сначала числа использовались только для подсчета в жизни, на практике, но в дальнейшем при развитии математики стали частью науки.

Натуральные числа – это числа которые мы используем при счете предметов.

Например: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Нуль не относится к натуральным числам.

Все натуральные числа или назовем множество натуральных чисел обозначается символом N.

Таблица натуральных чисел.

Натуральный ряд.

Натуральные числа, записанные подряд в порядке возрастания, образуют натуральный ряд или ряд натуральных чисел.

Свойства натурального ряда:

• Наименьшее натуральное число – единица.
• У натурального ряда следующее число больше предыдущего на единицу. (1, 2, 3, …) Три точки или троеточие ставятся в том случае, если закончить последовательность чисел невозможно.
• Натуральный ряд не имеет наибольшего числа, он бесконечен.

Пример №1:
Напишите первых 5 натуральных числа.
Решение:
Натуральные числа начинаются с единицы.
1, 2, 3, 4, 5

Пример №2:
Нуль является натуральным числом?
Ответ: нет.

Пример №3:
Какое первое число в натуральном ряду?
Ответ: натуральный ряд начинается с единицы.

Пример №4:
Какое последнее число в натуральном ряде? Назовите самое большое натуральное число?
Ответ: Натуральный ряд начинается с единицы. Каждое следующее число больше предыдущего на единицу, поэтому последнего числа не существует. Самого большого числа нет.

Пример №5:
У единицы в натуральном ряду есть предыдущее число?
Ответ: нет, потому что единица является первым числом в натуральном ряду.

Пример №6:
Назовите следующее число в натуральном ряду за числами: а)5, б)67, в)9998.
Ответ: а)6, б)68, в)9999.

Пример №7:
Сколько чисел находится в натуральном ряду между числами: а)1 и 5, б)14 и 19.
Решение:
а) 1, 2, 3, 4, 5 – три числа находятся между числами 1 и 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – четыре числа находятся между числами 14 и 19.

Пример №8:
Назовите предыдущее число за числом 11.
Ответ: 10.

Пример №9:
Какие числа применяются при счете предметов?
Ответ: натуральные числа.